Непустое множество К, на котором заданы две бинарные операции-сложение (+) и умножение ( ), удовлетворяющие условиям:
1) относительно операции сложения К - коммутативнаятруппа;
2) относительно операции умножения К - полугруппа;
3) операции сложения и умножения связаны законом дистрибутивности, т. е. (a+b)с=ас+bс, с(a+b) =ca+cb для всех а, b, c K , называется кольцом (К,+, ).
Структура (К, +) называется аддитивной группой кольца. Если операция умножения коммутативна, т. е. ab=ba. для всех а , b , то кольцо называется коммутативным.
Если относительно операции умножения существует единичный элемент, который в кольце принято обозначать единицей 1,. то говорят, что К есть кольцо с единицей.
Подмножество L кольца называется подкольцом, если L - подгруппа аддитивной группы кольца и L замкнуто относительно операции умножения, т. е. для всех a, b L выполняется а+b L и ab L.
Пересечение подколец будет подкольцом. Тогда, как и в случае групп, подкольцом, порожденным множеством S K, называется пересечение всех подколец К, содержащих S.
1. Множество целых чисел относительно операций умножения и сложения (Z, +, )-коммутативное кольцо. Множества nZ целых чисел, делящихся на п, будет подкольцом без единицы при п>1.
Аналогично множество рациональных и действительных чисел - коммутативные кольца с единицей.
2. Множество квадратных матриц порядка п относительно-операций сложения и умножения матриц есть кольцо с единицей Е - единичной матрицей. При п>1 оно некоммутативное.
3. Пусть K-произвольное коммутативное кольцо. Рассмотрим всевозможные многочлены
с переменной х и коэффициентами а 0 , а 1 , а 2 , ..., а n , из К. Относительно алгебраических операций сложения и умножения многочленов- это коммутативное кольцо. Оно называется кольцом многочленов К от переменной х над кольцом К (например, над кольцом целых, рациональных, действительных чисел). Аналогично определяется кольцо многочленов K от т переменных как кольцо многочленов от одной переменной х т над кольцом K.
4. Пусть X - произвольное множество, К -произвольное кольцо. Рассмотрим множество всех функций f: Х К, определенных на множестве X со значениями в К Определим сумму и произведение функций, как обычно, равенствами
(f+g)(x)=f(x)+g(x); (fg)(x)=f(x)g(x),
где + и - операции в кольце К.
Нетрудно проверить, что все условия, входящие в определение кольца, выполняются, и построенное кольцо будет коммутативным, если коммутативно исходное кольцо K . Оно называется кольцом функций на множестве X со значениями в кольце К.
Многие свойства колец - это переформулированные соответствующие свойства групп и полугрупп, например: a m a n =a m + n , (а т) п =а тп для всех m , n и всех a .
Другие специфические свойства колец моделируют свойства чисел:
1) для всех a a 0=0 a=0;
2) .(-а)b=а(-b)=-(ab) ;
3) - a=(-1)a .
Действительно:
2) 0=a (аналогично (-a)b=-(ab));
3) используя второе свойство, имеем-a= (-a)1 =a(-1) = (-1)a .
Поле
В кольцах целых, рациональных и действительных чисел из того, что произведение ab=0, следует, что либо а =0, либо b =0. Но в кольце квадратных матриц порядка n >1 это свойство уже не выполняется, так как, например, = .
Если в кольце К ab=0 при а 0, b , то а называется левым, а b - правым делителем нуля. Если в К нет делителей нуля (кроме элемента 0, который является тривиальным делителем нуля), то K называется кольцом без делителей нуля.
1. В кольце функции f: R R на множестве действительных чисел R рассмотрим функции f 1 (x)=|x|+x; f 2 (x) =|x|-x. Для них f 1 (x) =0 при x и f 2 (x )=0 при x , а поэтому произведение f 1 (x) f 2 (x) - нулевая функция, хотя f 1 (x) и f 2 (x) . Следовательно, в этом кольце есть делители нуля.
2. Рассмотрим множество пар целых чисел (а, b), в котором заданы операции сложения и умножения:
(a 1 , b 1)+(a 2 , b 2)=(a 1 +a 2 , b 1 +b 2);
(a 1 , b 1)(a 2 , b 2)= (a 1 a 2 , b 1 b 2).
Это множество образует коммутативное кольцо с единицей (1,1) и делителями нуля, так как (1,0)(0,1)=(0,0).
Если в кольце нет делителей нуля, то в нем выполняется закон сокращения, т. е. ab=ac, а =с. Действительно, ab-ac=0 a(b-c)=0 (b-c)=0 b=c.
Пусть К - кольцо, с единицей. Элемент а называется обратимым, если существует такой элемент а -1 , для которого aa -1 =a -1 a=1 .
Обратимый элемент не может быть делителем нуля, так как. если ab =0 , то a -1 (ab) =0 (a -1 a)b=0 1b=0 b=0 (аналогично ba=0 ).
Теорема. Все обратимые элементы кольца К с единицей образуют группу относительно умножения.
Действительно, умножение в К
ассоциативно, единица содержится во множестве обратимых элементов и произведение не выводит из множества обратимых элементов, так как если а
и b
обратимы, то
(аb) -1 =b -1 a -1 .
Важную алгебраическую структуру образуют коммутативные кольца К, в которых каждый ненулевой элемент обратим, т. е. относительно операции умножения множество K \{0} образует группу. В таких кольцах определены три операции: сложение, умножение и деление.
Коммутативное кольцо Р с единицей 1 0, в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется полем.
Относительно умножения все отличные от нуля элементы поля образуют группу, которая называется мультипликативной группой поля.
Произведение аb -1 записывается в виде дроби и имеет смысл лишь при b 0 . Элемент является единственным решением уравнения bx=a. Действия с дробями подчиняются привычным для нас правилам:
Докажем, например, второе из них. Пусть х= и у= - решения уравнений bx=a, dy=c. Из этих уравнений следует dbx=da, bdy=bc bd(x+y)=da+bc t= - единственное решение уравнения bdt=da+bc.
1. Кольцо целых чисел не образует поля. Полем является множество рациональных и множество действительных чисел.
8.7. Задания для самостоятельной работы по главе 8
8.1. Определить, является ли операция нахождения скалярного произведения векторов n-мерного евклидового пространства коммутативной и ассоциативной. Обосновать ответ.
8.2. Определить, является ли множество квадратных матриц порядка n относительно операции умножения матриц, группой или моноидом.
8.3. Указать, какие из следующих множеств образуют группу относительно операции умножения:
а) множество целых чисел;
б) множество рациональных чисел;
в) множество действительных чисел, отличных от нуля.
8.4. Определить, какие из следующих структур образует множество квадратных матриц порядка n с определителем, равным единице: относительно обычных операций сложения и умножения матриц:
а) группу;
б) кольцо;
8.5. Указать, какую структуру образует множество целых чисел относительно операции умножения и сложения:
а) некоммутативное кольцо;
б) коммутативное кольцо;
8.6. Какую из перечисленных ниже структур образует множество матриц вида с действительными a и b относительно обычных операций сложения и умножения матриц:
а) кольцо;
8.7. Какое число нужно исключить из множества действительных чисел, чтобы оставшиеся числа образовывали группу относительно обычной операции умножения:
8.8. Выяснить, какую из следующих структур образует множество, состоящее из двух элементов a и e, с бинарной операцией, определенной следующим образом:
ee=e, ea=a, ae=a, aa=e.
а) группу;
б) абелеву группу.
8.9. Являются ли кольцом четные числа относительно обычных операций сложения и умножения? Обосновать ответ.
8.10. Является ли кольцом совокупность чисел вида a+b , где a и b – любые рациональные числа, относительно операций сложения и умножения? Ответ обосновать.
Определение 4.1.1. Кольцо (K , +, ) – это алгебраическая система с непустым множеством K и двумя бинарными алгебраическими операциями на нем, которые будем называть сложением и умножением . Кольцо является абелевой аддитивной группой, а умножение и сложение связаны законами дистрибутивности: (a + b ) c = a c + b c и с (a + b ) = c a + c b для произвольных a , b , c K .
Пример 4.1.1. Приведем примеры колец.
1. (Z , +, ), (Q , +, ), (R , +, ), (C , +, ) – соответственно кольца целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел с обычными операциями сложения и умножения. Данные кольца называются числовыми .
2. (Z / n Z , +, ) – кольцо классов вычетов по модулю n N с операциями сложения и умножения.
3. Множество M n (K ) всех квадратных матриц фиксированного порядка n N с коэффициентами из кольца (K , +, ) с операциями матричного сложения и умножения. В частности, K может быть равно Z , Q , R , C или Z /n Z приn N .
4. Множество всех вещественных функций, определенных на фиксированном интервале (a ; b ) вещественной числовой оси, с обычными операциями сложения и умножения функций.
5. Множество полиномов (многочленов) K [x ] с коэффициентами из кольца (K , +, ) от одной переменной x с естественными операциями сложения и умножения полиномов. В частности, кольца полиномов Z [x ], Q [x ], R [x ], C [x ], Z /n Z [x ] приn N .
6. Кольцо векторов (V 3 (R ), +, ) c операциями сложения и векторного умножения.
7. Кольцо ({0}, +, ) с операциями сложения и умножения: 0 + 0 = 0, 0 0 = = 0.
Определение 4.1.2. Различают конечные и бесконечные кольца (по числу элементов множества K ), но основная классификация ведется по свойствам умножения. Различают ассоциативные кольца, когда операция умножения ассоциативна (пункты 1–5, 7 примера 4.1.1) и неассоциативные кольца (пункт 6 примера 4.1.1: здесь , ). Ассоциативные кольца делятся на кольца с единицей (есть нейтральный элемент относительно умножения) и без единицы , коммутативные (операция умножения коммутативна) и некоммутативные .
Теорема 4.1.1. Пусть (K , +, ) – ассоциативное кольцо с единицей. Тогда множество K * обратимых относительно умножения элементов кольца K – мультипликативная группа.
Проверим выполнение определения группы 3.2.1. Пусть a , b K * . Покажем, что a b K * . (a b ) –1 = b –1 а –1 K . Действительно,
(a b ) (b –1 а –1) = a (b b –1) а –1 = a 1 а –1 = 1,
(b –1 а –1) (a b ) = b –1 (а –1 a ) b = b –1 1 b = 1,
где а –1 , b –1 K – обратные элементы к a и b соответственно.
1) Умножение в K * ассоциативно, так как K – ассоциативное кольцо.
2) 1 –1 = 1: 1 1 = 1 1 K * , 1 – нейтральный элемент относительно умножения в K * .
3) Для
a
K
* ,
а
–1 K
* ,
так как (а
–1) a
=
a
(а
–1) =
1
(а
–1) –1
=
a
.
Определение 4.1.3. Множество K * обратимых относительно умножения элементов кольца (K , +, ) называют мультипликативной группой кольца .
Пример 4.1.2. Приведем примеры мультипликативных групп различных колец.
1. Z * = {1, –1}.
2. M n (Q ) * = GL n (Q ), M n (R ) * = GL n (R ), M n (C ) * = GL n (C ).
3. Z /n Z * – множество обратимых классов вычетов, Z /n Z * = { | (k , n ) = 1, 0 k < n }, при n > 1 | Z /n Z * | = (n ), где – функция Эйлера.
4. {0} * = {0}, так как в данном случае 1 = 0.
Определение 4.1.4. Если в ассоциативном кольце (K , +, ) с единицей группа K * = K \{0}, где 0 – нейтральный элемент относительно сложения, то такое кольцо называют телом или алгеброй с делением . Коммутативное тело называется полем .
Из данного определения очевидно, что в теле K * и 1 K * , значит, 1 0, поэтому минимальное тело, являющееся полем, состоит из двух элементов: 0 и 1.
Пример 4.1.3.
1. (Q , +, ), (R , +, ), (C , +, ) – соответственно числовые поля рациональных, вещественных и комплексных чисел.
2. (Z /p Z , +, ) – конечное поле из p элементов, если p – простое число. Например, (Z /2Z , +, ) – минимальное поле из двух элементов.
3.
Некоммутативным
телом является тело кватернионов –
совокупность кватернионов, то есть
выражений вида h
=
a
+ bi
+ cj
+ dk
,
где a
,
b
,
c
,
d
R
,
i
2 =
= j
2 = k
2 = –1,
i
j
= k
= – j
i
,
j
k
= i
= – k
j
,
i
k
= – j
= – k
i
,
с операциями сложения и умножения.
Кватернионы складываются и перемножаются
почленно с учетом указанных выше формул.
Для всякого h
0
обратный кватернион имеет вид:
.
Различают кольца с делителями нуля и кольца без делителей нуля.
Определение 4.1.5. Если в кольце найдутся ненулевые элементы a и b такие, что a b = 0, то их называют делителями нуля , а само кольцо – кольцом с делителями нуля . В противном случае кольцо называется кольцом без делителей нуля .
Пример 4.1.4.
1. Кольца (Z , +, ), (Q , +, ), (R , +, ), (C , +, ) – кольца без делителей нуля.
2.
В
кольце (V
3 (R
), +, )
каждый отличный от нуля элемент является
делителем нуля, поскольку
для всех
V
3 (R
).
3.
В
кольце матриц M
3 (Z
)
примерами делителей нуля являются
матрицы
и
,
так как A
B
=
O
(нулевая матрица).
4. В кольце (Z / n Z , +, ) с составным n = k m , где 1 < k , m < n , классы вычетов и являются делителями нуля, так как .
Ниже приведем основные свойства колец и полей.
Определение 4.1.1. Кольцо (K , +, ) – это алгебраическая система с непустым множеством K и двумя бинарными алгебраическими операциями на нем, которые будем называть сложением и умножением . Кольцо является абелевой аддитивной группой, а умножение и сложение связаны законами дистрибутивности: (a + b ) c = a c + b c и с (a + b ) = c a + c b для произвольных a , b , c K .
Пример 4.1.1. Приведем примеры колец.
1. (Z , +, ), (Q , +, ), (R , +, ), (C , +, ) – соответственно кольца целых, рациональных, вещественных и комплексных чисел с обычными операциями сложения и умножения. Данные кольца называются числовыми .
2. (Z /n Z , +, ) – кольцо классов вычетов по модулю n N с операциями сложения и умножения.
3. Множество M n (K ) всех квадратных матриц фиксированного порядка n N с коэффициентами из кольца (K , +, ) с операциями матричного сложения и умножения. В частности, K может быть равно Z , Q , R , C или Z /n Z приn N .
4. Множество всех вещественных функций, определенных на фиксированном интервале (a ; b ) вещественной числовой прямой, с обычными операциями сложения и умножения функций.
5. Множество полиномов (многочленов) K [x ] с коэффициентами из кольца (K , +, ) от одной переменной x с естественными операциями сложения и умножения полиномов. В частности, кольца полиномов Z [x ], Q [x ], R [x ], C [x ], Z /n Z [x ] приn N .
6. Кольцо векторов (V 3 (R ), +, ) c операциями сложения и векторного умножения.
7. Кольцо ({0}, +, ) с операциями сложения и умножения: 0 + 0 = 0, 0 0 = = 0.
Определение 4.1.2. Различают конечные и бесконечные кольца (по числу элементов множества K ), но основная классификация ведется по свойствам умножения. Различают ассоциативные кольца, когда операция умножения ассоциативна (пункты 1–5, 7 примера 4.1.1) и неассоциативные кольца (пункт 6 примера 4.1.1: здесь ,). Ассоциативные кольца делятся на кольца с единицей (есть нейтральный элемент относительно умножения) и без единицы , коммутативные (операция умножения коммутативна) и некоммутативные .
Теорема 4.1.1. Пусть (K , +, ) – ассоциативное кольцо с единицей. Тогда множество K * обратимых относительно умножения элементов кольца K – мультипликативная группа.
Проверим выполнение определения группы 3.2.1. Пусть a , b K * . Покажем, что a b K * . (a b ) –1 = b –1 а –1 K . Действительно,
(a b ) (b –1 а –1) = a (b b –1) а –1 = a 1 а –1 = 1,
(b –1 а –1) (a b ) = b –1 (а –1 a ) b = b –1 1 b = 1,
где а –1 , b –1 K – обратные элементы к a и b соответственно.
1) Умножение в K * ассоциативно, так как K – ассоциативное кольцо.
2) 1 –1 = 1: 1 1 = 1 1 K * , 1 – нейтральный элемент относительно умножения в K * .
3) Для
a
K
* ,
а
–1 K
* ,
так как (а
–1) a
= a
(а
–1) = 1
(а
–1) –1
=
a
.
Определение 4.1.3. Множество K * обратимых относительно умножения элементов кольца (K , +, ) называют мультипликативной группой кольца .
Пример 4.1.2. Приведем примеры мультипликативных групп различных колец.
1. Z * = {1, –1}.
2. M n (Q ) * = GL n (Q ), M n (R ) * = GL n (R ), M n (C ) * = GL n (C ).
3. Z /n Z * – множество обратимых классов вычетов, Z /n Z * = { | (k , n ) = 1, 0 k < n }, при n > 1 | Z /n Z * | = (n ), где – функция Эйлера.
4. {0} * = {0}, так как в данном случае 1 = 0.
Определение 4.1.4. Если в ассоциативном кольце (K , +, ) с единицей группа K * = K \{0}, где 0 – нейтральный элемент относительно сложения, то такое кольцо называют телом или алгеброй с делением . Коммутативное тело называется полем .
Из данного определения очевидно, что в теле K * и 1 K * , значит, 1 0, поэтому минимальное тело, являющееся полем, состоит из двух элементов: 0 и 1.
Пример 4.1.3.
1. (Q , +, ), (R , +, ), (C , +, ) – соответственно числовые поля рациональных, вещественных и комплексных чисел.
2. (Z /p Z , +, ) – конечное поле из p элементов, если p – простое число. Например, (Z /2Z , +, ) – минимальное поле из двух элементов.
3.
Некоммутативным
телом является тело
кватернионов
– совокупность кватернионов
,
то есть выражений вида h
=
a
+ bi
+ cj
+ dk
,
где a
,
b
,
c
,
d
R
,
i
2 =
= j
2 = k
2 = – 1,
i
j
= k
= – j
i
,
j
k
= i
= – k
j
,
i
k
= – j
= – k
i
,
с операциями сложения и умножения.
Кватернионы складываются и перемножаются
почленно с учетом указанных выше формул.
Для всякого h
0
обратный кватернион имеет вид:
.
Различают кольца с делителями нуля и кольца без делителей нуля.
Определение 4.1.5. Если в кольце найдутся ненулевые элементы a и b такие, что a b = 0, то их называют делителями нуля , а само кольцо – кольцом с делителями нуля . В противном случае кольцо называется кольцом без делителей нуля .
Пример 4.1.4.
1. Кольца (Z , +, ), (Q , +, ), (R , +, ), (C , +, ) – кольца без делителей нуля.
2.
В
кольце (V
3 (R
), +, )
каждый отличный от нуля элемент является
делителем нуля, поскольку
для всех
V
3 (R
).
3.
В
кольце матриц M
3 (Z
)
примерами делителей нуля являются
матрицы
и
,
так как A
B
= O
(нулевая матрица).
4. В кольце (Z /n Z , +, ) с составным n = k m , где 1 < k , m < n , классы вычетов иявляются делителями нуля, так как.
Ниже приведем основные свойства колец и полей.
Пусть (K,+, ·) - кольцо. Так как (K, +) - абелева группа, учитывая свойства групп получим
СВ-ВО 1 . Во всяком кольце (K,+, ·) имеется единственный нулевой элемент 0 и для всякого a ∈ K имеется единственный противоположный ему элемент −a.
СВ-ВО 2. ∀ a, b, c ∈ K (a + b = a + c ⇒ b = c).
СВ-ВО 3. Для любых a, b ∈ K в кольце K существует единственная разность a − b, причем a − b = a + (−b). Таким образом, в кольце K определена операция вычитания, при этом она обладает свойствами 1′-8′.
СВ-ВО 4 . Операция умножения в K дистрибутивна относительно операции вычитания, т.е. ∀ a, b, c ∈ K ((a − b)c = ac − bc ∧ c(a − b) = ca − cb).
Док-во. Пусть a, b, c ∈ K. Учитывая дистрибутивность операции · в K относительно операции + и определение разности элементов кольца, получим (a − b)c + bc = ((a − b) + b)c = ac, откуда по определению разности следует, что (a − b)c = ac − bc.
Аналогично доказывается правый закон дистрибутивности операции умножения относительно операции вычитания.
СВ-В 5. ∀ a ∈ K a0 = 0a = 0.
Доказательство. Пусть a ∈ K и b-произвольный элемент из K. Тогда b − b = 0 и поэтому, учитывая предыдущее свойство, получим a0 = a(b − b) = ab − ab = 0.
Аналогично доказывается, что 0a = 0.
СВ-ВО 6. ∀ a, b ∈ K (−a)b = a(−b) = −(ab).
Доказательство. Пусть a, b ∈ K. Тогда (−a)b + ab = ((−a) + a)b =
0b = 0. Значит, (−a)b = −(ab).
Аналогично доказывается равенство a(−b) = −(ab).
СВ-ВО 7. ∀ a, b ∈ K (−a)(−b) = ab.
Доказательство. В самом деле, применяя дважды предыдущее свойство, получим (−a)(−b) = −(a(−b)) = −(−(ab)) = ab.
ЗАМЕЧАНИЕ. Свойства 6 и 7 называют правилами знаков в кольце.
Из дистрибутивности операции умножения в кольце K относительно операции сложения и свойств 6 и 7 вытекает следующее
СВ-ВО 8. Пусть k, l-произвольные целые числа. Тогда ∀ a, b ∈ K (ka)(lb) = (kl)ab.
Подкольцо
Подкольцом кольца (K,+, ·) называется подмножество H множества K, которое замкнуто относительно операций + и ·, определенных в K, и само является кольцом относительно этих операций.
Примеры подколец:
Так, Z -подкольцо кольца (Q,+, ·), Q-подкольцо кольца (R,+, ·), Rn×n -подкольцо кольца (Cn×n,+, ·), Z[x]-подкольцо кольца (R[x],+, ·), D -подкольцо кольца (C,+, ·).
Во всяком кольце (K,+, ·) само множество K, а также одноэлементное подмножество {0} являются подкольцами кольца (K,+, ·). Это так называемые тривиальные подкольца кольца (K,+, ·).
Простейшие свойства подколец.
Пусть H - подкольцо кольца (K,+, ·), т.е. (H,+, ·) само является кольцом. Значит, (H, +)-группа, т.е. H -подгруппа группы (K, +). Поэтому справедливы следующие утверждения.
СВ-ВО 1. Нулевой элемент подкольца H кольца K совпадает с нулевым элементом кольца K.
СВ-ВО 2 . Для всякого элемента a подкольца H кольца K противоположный ему элемент в H совпадает с −a, т.е. с противоположным ему элементом в K.
СВ-ВО 3. Для любых элементов a и b подкольца H их разность в H совпадает с элементом a − b, т.е. с разностью этих элементов в K.
Признаки подкольца.
ТЕОРЕМА 1 (первый признак подкольца).
Непустое подмножество H кольца K с операциями + и · является подкольцом кольцаK тогда итолькотогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям:
∀ a, b ∈ H a + b ∈ H, (1)
∀ a ∈ H − a ∈ H, (2)
∀ a, b ∈ H ab ∈ H. (3)
Необходимость. Пусть H - подкольцо кольца (K,+, ·). Тогда H -подгруппа группы (K, +). Поэтому по первому признаку подгруппы (в аддитивной формулировке), H удовлетворяет условиям (1) и (2). Кроме того, H замкнуто относительно операции умножения, определенной в K, т.е. H
удовлетворяет и условию (3).
Достаточность. Пусть H ⊂ K, H 6= ∅ и H удовлетворяет условиям (1) − (3). Из условий (1) и (2) по первому признаку подгруппы следует, что H -подгруппа группы (K, +), т.е. (H, +)-группа. При этом, так как (K, +)-абелева группа, (H, +) также абелева. Кроме того, из условия (3) следует, что умножение является бинарной операцией на множестве H. Ассоциативность операции · в H и ее дистрибутивность относительно операции + следуют из того, что такими свойствами обладают операции + и · в K.
ТЕОРЕМА 2 (второй признак подкольца).
Непустое подмножество H кольца K с операциями + и · является
подкольцом кольца K т. и т. т, когда оно удовлетворяет следующим условиям:
∀ a, b ∈ H a − b ∈ H, (4)
∀ a, b ∈ H ab ∈ H. (5)
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 1.
При этом используется теорема 2′ (второй признак подгруппы в аддитивной формулировке) и замечание к ней.
7.Поле (определение, виды, свойства, признаки).
Полем называется коммутативное кольцо с единицей e не равно 0, в котором всякий элемент, отличный отнуля имеет обратный.
Классическими примерами числовых полей являются поля (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+, ·).
СВОЙСТВО 1. Во всяком поле F справедлив закон сокращения
на общий множитель, отличный от нуля, т.е.
∀ a, b, c ∈ F (ab = ac ∧ a не равно 0 ⇒ b = c).
СВОЙСТВО 2. Во всяком поле F нет делителей нуля.
СВОЙСТВО 3. Кольцо (K,+, ·) является полем тогда и только
тогда, когда множество K \ {0} есть коммутативная группа относительно операции умножения.
СВОЙСТВО 4 . Конечное ненулевое коммутативное кольцо (K,+, ·) без делителей нуля является полем.
Частное элементов поля.
Пусть (F,+, ·)-поле.
Частным элементов a и b поля F, где b не равно 0,
называется такой элемент c ∈ F, что a = bc.
СВОЙСТВО 1. Для любых элементов a и b поля F, где b не равно 0, существует единственное частное a/b, причем a/b= ab−1.
СВОЙСТВО 2. ∀ a ∈ F \ {0}
a/a= e и ∀ a ∈ F a/e= a.
СВОЙСТВО 3. ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ {0}
a/b=c/d ⇔ ad = bc.
СВОЙСТВО 4. ∀ a, c ∈ F ∀ b, d ∈ F \ {0}
СВОЙСТВО 5. ∀ a ∈ F ∀ b, c, d ∈ F \ {0}
(a/b)/(c/d)=ad/bc
СВОЙСТВО 6. ∀ a ∈ F ∀ b, c ∈ F \ {0}
СВОЙСТВО 7. ∀ a ∈ F ∀ b, c ∈ F \ {0}
СВОЙСТВО 8. ∀ a, b ∈ F ∀ c ∈ F \ {0}
Поле F, единица которого имеет конечный порядок p в группе (F, +) p.
Поле F единица, которого имеет бесконечный порядок в группе (F, +), называется полем характеристики 0.
8. Подполе (определение, виды, свойства, признаки)
Подполем поля (F,+, ·) называется подмножество S множества F, которое замкнуто относительно операций + и ·, определенных в F, и само является полем относительно этих операций.
Приведем некоторые примеры подполей Q-подполе поля (R,+, ·);
R-подполе поля (C,+, ·);
справедливы следующие утверждения.
СВОЙСТВО 1. Нулевой элемент подполя S поля F совпадает с
нулевым элементом поля F.
СВОЙСТВО 2 . Для всякого элемента a подполя S поля F противоположный ему элемент в S совпадает с −a, т.е. с противоположным ему элементом в F.
СВОЙСТВО 3. Для любых элементов a и b подполя S поля F их
разность в S совпадает с a−b т.е. с разностью этих элементов в F.
СВОЙСТВО 4. Единица подполя S поля F совпадает с единицей
e поля F.
СВОЙСТВО 5 . Для всякого элемента a подполя S поля F, от-
личного от нуля, обратный к нему элемент в S совпадает с a−1, т.е. с элементом, обратным к a в F.
Признаки подполя.
ТЕОРЕМА 1 (первый признак подполя).
Подмножество H поля F c операциями +, ·, содержащее ненулевой
(F,+, ·)
∀ a, b ∈ H a + b ∈ H, (1)
∀ a ∈ H − a ∈ H, (2)
∀ a, b ∈ H ab ∈ H, (3)
∀ a ∈ H \ {0} a−1 ∈ H. (4)
ТЕОРЕМА2 (второй признак подполя).
Подмножество H поля F c операциями +, ·, содержащее ненулевой
элемент, является подполем поля (F,+, ·) тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям:
∀ a, b ∈ H a − b ∈ H, (5)
∀ a ∈ H ∀ b ∈ H\{0} a/b ∈ H. (6)
10. Отношение делимости в кольце Z
Утверждение: для любых элементов a,b,c коммутативного кольца на множестве R, справедливы следующие импликации:
1) а|b, b|c => a|c
2) a|b, a|c => a| (b c)
3) a|b => a|bc
для любого a, b Z справедливо:
2) a|b, b≠0 => |a|≤|b|
3)a|b и b|a ó |a|=|b|
Разделить с остатком целое число а на целое число b , значит найти такие целые числа q и r, что можно представить a=b*q + r, 0≤r≥|b|, где q – неполное частное, r- остаток
Теорема: Если a и b Z , b≠0, то а можно разделить на b с остатком,причем неполное частное и остаток определяются однозначно.
Следствие,если a и b Z , b≠0, то b|a ó
11. НОД и НОК
Наибольший общий делитель(НОД) чисел Z называется некоторое число d, удовлетворяющее следующим условиям
1) d является общим делителем т.е. d| , d| …d|
2) d делится на любой общий делитель чисел т.е. d| , d| …d| => d| , d| …d|